Родился в 1882 г. в семье наставника Вилкомирской (ныне Укмергской) старообрядческой общины Сергея Фаддеевича Мурникова. Рано остался сиротой. но несмотря на это получил хорошее педагогическое образование. Работал учителем в школах Двинска (Даугавпилса), в Илукстской учительской семинарии для старообрядцев. Уже в молодости принимал активное участие в общественной жизни староверов: был делегатом Всероссийского съезда поморцев по народному образованию (1911), избирался в исполнительные органы 2-го Всероссийского собора христиан-поморцев в Москве (1912), сотрудничал с Двинским старообрядческим братством (ныне Даугавпилс). После революции в эмиграции в Эстонии в связи с изменением государственных границ. В 1919-1935 гг. жил в Тарту (Эстония). Член ревизионной комиссии V старообрядческого съезда в Эстонии (17-19 июля 1928 г.). В начале 1930-х гг. издавал журнал "Духовный отдых юношества". В это же время по его инициативе при Тартуской старообрядческой общине были организованы просветительские духовные курсы, на которых Л.С. Мурников преподавал знаменное пение и катехизис. Тогда же при поддержке Таллинской старообрядческой общины опубликовано пособие по изучению знаменного пения (составитель - Л.С. Мурников). В разработке этого сборника Мурников использовал опыт преподавания богослужебного пения на курсах в Эстонии и Латвии и впервые попытался создать методику обучения пению по крюкам, рассчитанную на широкий круг заинтересованных лиц.

В 1935 г. был приглашен на пост наставника Рижской Гребенщиковской старообрядческой общины (РГСО). По инициативе Л.С. Мурникова совет РГСО издавал журнал "Наставник" (1937) и выпустил руководство по уставу церковной службы, автором которого был авторитетный уставщик РГСО Д. Д. Михайлов. В круг интересов Мурникова входило изучение и сохранение правильного богослужебного устава в практике старообрядческих общин Латвии. С этой целью в журнале "Наставник" публиковались разъяснительные статьи и ответы на вопросы, касающиеся церковно-канонических сторон жизни общины. В 1935-1939 гг. Мурников вместе с И.Н. Заволоко и И.У. Ваконья состоял в редакции " Старообрядческого церковного календаря". В это время "Старообрядческий церковный календарь" стал важным источником сведений о богослужебной практике. Редакция взяла на себя также обязанность информировать об общественной жизни старообрядцев Латвии и распоряжениях государственных институций, касаюшихся старообрядческих общин.

В тяжелые годы 2-й мировой войны Мурников продолжал пастырское служение в РГСО, поддерживая и опекая прихожан общины. Скончался в 1945 г.