Родился 11 февраля 1935 г. в Риге в семье российских эмигрантов. В конце Второй мировой войны семья Безкоровайных вторично оказалась в числе беженцев. После переезда в США А.И. Безкоровайный в 1956 г. стал гражданином США. В том же году он окончил Чикагский университет со званием бакалавра, в 1958 г. получил степень магистра, а в 1960 г. защитил докторскую диссертацию по биохимии в Иллинойсском университете на тему: “Выделение и характеризация некоторых кислотных гликопротеинов из плазмы человека”. Помимо работы по специальности в 1973 г. начал изучать юриспруденцию в Юридическом колледже Иллинойского технологического института. В 1977 г. получил степень доктора юриспруденции с правом заниматься адвокатурой в шт. Иллинойс. С 1962 по 1970 гг. преподавал аспирантам начальную биохимию заболеваний и химию протеинов аспирантам в Иллинойсском университете. Начиная с 1974 г. заведовал преподаванием биохимии в медицинском колледже Раш (Rush), в котором является профессором и ведет исследовательскую работу. Состоит членом шести профессиональных и научных обществ и является членом редколлегий ряда научных биологических журналов. Автор и соавтор шести книг и значительного количества статей по биохимии. В том числе, одна из книг А.И. Безкоровайного посвящена истории науки и медицины в дореволюционной России. Принимает активное участие в жизни прихода Свято-Троицкого православного русского собора в Чикаго, был его старостой, состоит его казначеем и редактором юбилейного сборника, посвященного столетию прихода. Многолетний член Конгресса русских американцев.