Эмигрировал в Соединенные Штаты из Гродно (Белоруссия) в 1914 году. Был прихожанином Православной Церкви, позже покаялся в баптистской церкви, а затем принял крещение Святым Духом в пятидесятнической церкви. Член Церкви христиан веры Евангельской (ХВЕ) (пятидесятников). Получил степень бакалавра. Женат на Елизавете Дробич. Проживал в Нью-Йорке. Ездил вместе с женой по русским церквям в Америке и занимался проповеднической деятельностью. Затем семья Дробичей обосновалась в г. Детройт, штат Мичиган, где они основали Детройтскую русско-украинско-польскую пятидесятническую церковь, в которой Алексей Дробич служил пастором. Скончался в возрасте девяноста лет.