Родился в 1900 г. в г. Ковно Российской империи в состоятельной семье старообрядцев. Отец - Алексей Анкудинович Прозоров (1820-е? - 1905), инженер-строитель, видный деятель старообрядчества и церковный благотворитель, мать - Екатерина Емельяновна (урожд. Ефремова) (сконч. 1939), "крепкая" (глубоковерующая) старообрядка. Как и старшие братья - Полихроний Алексеевич и Василий Алексеевич, И.А. Прозоров окончил начальную школу и продолжил учебу в Ковенской гимназии. В начале 1-й мировой войны вместе со старшим братом Полихронием уехал в г. Краслава (Латвия), где окончил гимназию с золотой медалью. После революции в эмиграции в Латвии в связи с изменением государственных границ.

Вернувшись в Каунас, в начале 1920-х гг. выступал в концертных вечерах Общества любителей изящных искусств. В 1921-1932 гг. - солист (тенор) литовского национального оперного театра (с 1922 г. Государственный оперный театр). Участвовал в постановках опер классических русских и западноевропейских композиторов, исполняя партии Трике ("Евгений Онегин"), Сполеты ("Тоска"), Чекалинского ("Пиковая дама") и др. В театре он познакомился и работал с известными литовскими певцами К. Петраускасом, А. Кучингисом, русскими художниками В. Дубенецким, М. Добужинским, режиссерами Д. Арбениным и Ф. Павловским. Не являясь ведущим солистом, Прозоров тем не менее яркими эпизодами украсил историю оперного театра 1920-х гг. В апреле 1923 г. критики отметили его "грациозного <. .> француза Трике" в опере П.И. Чайковского "Евгений Онегин" (режиссер Д. Арбенин). Исполнил партию Чекалинского в опере Чайковского "Пиковая дама" (режиссер Д. Арбенин), которая открыла, по словам искусствоведа В. Мажейки, "новую яркую страницу в истории литовского оперного театра". В 1926 г. он окончил гуманитарный факультет Литовского университета. В 1932 г. Прозоров простился с оперной сценой. Последняя роль - Шуйский в опере М. Мусоргского "Борис Годунов" (режиссер Ф. Павловский; сценограф М. Добужинский). В начале 1930-х гг. И.А. Прозоров активно включился в религиозную и педагогическую деятельность местных староверов. В 1930 г. на 5-м Вселитовском съезде старообрядцев в Каунасе делал доклад о необходимости открытия Литовских духовных старообрядческих курсов. Вместе с братом Василием получил разрешение правительства на открытие этих курсов, которые действовали в 1931-1933 гг. Был руководителем этих курсов. Сам преподавал курсантам несколько дисциплин - русский и латинский языки, историю России и мировую историю, историю Церкви и старообрядчества, географию и гомилетику. Руководил журналом "Китеж-Град", который издавали преподаватели и учащиеся этих курсов, и публиковал статьи в этом журнале. В 1930-х гг. стал одним из наиболее почитаемых старообрядцев Литвы.

И.А. Прозоров подготовил для слушателей курсов достаточно обширную "Историю старообрядчества" (1933), самую значительную историческую работу по этой тематике в межвоенный период в балтийских странах. Владея большой домашней библиотекой, также называвшейся "Китеж-Град", предоставлял возможность пользоваться своим богатым собранием книг старообрядцам и всем желающим. В 1930-х гг. продолжил работу над составлением и переработкой довоенных учебников по педагогике (1930) и Закону Божьему (1939), которые были необходимы для более серьезного и основательного преподавания религиозных дисциплин и повышения уровня знаний старообрядцев. В 1932-1935 гг. - преподаватель истории старообрядчества в частной русской гимназии в Каунасе, где училось более 160 учеников, в частности, дети старообрядцев.

В 1938-1940 гг. председатель Центрального Старообрядческого Совета Литвы, избранный на 8-м Вселитовском съезде старообрядцев. В 1938-1939 гг. принимал активное участие в комиссии по подготовке собора Старообрядческой Церкви в Балтии и Польше. Был членом этой комиссии, последнее заседание которого 12-14 апреля 1939 г. проходило в Каунасе. Однако созыву собора помещала 2-я мировая война. После оккупации Польши и присоединения Виленского края к Литве (октябрь 1939 г.) Центральный Старообрядческий Совет Литвы во главе с И.А. Прозоровым в ноябре-декабре 1939 г. перенял полномочия ликвидированного Высшего Старообрядческого Совета в Польше, взял под опеку оказавшиеся на территории Литвы старообрядческие общины.

Прозоров был самой видной фигурой из числа старообрядцев в литературной жизни межвоенной Литвы. Разносторонне одаренный, он писал повести, путевые заметки, публицистические статьи. В одной из своих полемических статей "Ответ старообрядца" (1939), он аргументированно отреагировал на высказывания в местной газете "Новые дни" ее редактора А. Жукова о культурной отсталости, практическом отсутствии интеллигенции и будущей смены руководства в старообрядчестве.

С оккупацией Литвы в июне 1940 г. и введением советской власти резко изменилось положение Старообрядческой Церкви и верующих в государстве. В апреле 1941 г. Прозорову еще удалось добиться от министра просвещения разрешения на открытие вторых духовных курсов по подготовке наставников. Однако не прошло и двух месяцев, как советская власть обрушила на Старообрядческую Церковь репрессии - 15 июня 1941 г. И.А. Прозоров был арестован и сослан в Сибирь (Томская область). О последнем периоде его жизни известно мало. В конце 1940-х гг. Прозоров проживал в Томске, где работал в бухгалтерии. Писал письма в Каунас, просил прислать ему необходимые книги, организовал кружок пения. Здесь женился. После тяжелой болезни умер в 1956 г. и похоронен в Томске.